咳咳，少废话直接开始吧。

【资料图】

1.引子

这一次的讨论要从一个求和开始。

这个样貌一看就是一个级数的和。

抓到一个级数 ，应当先判断它收不收敛。

不过我都拿出来讨论了，当然是收敛的啦。这瓜保熟!

额，先说明一下符号。

n!!的“!”不是感叹号，两个“!”连用是双阶乘。

意思的话，你看前面给的式子应该也看懂了。

n!!指的是，不超过n且与n同奇偶性的正整数的乘积。

这类问题我想很多人都见过。常规的操作是构造幂级数然后求幂级数和函数的和。

即构造

求幂级数的和函数呢，往往利用逐项求积或者逐项求导的方法。

这里我们要做的应该是把分母消掉，所以应该逐项求导。

哦，这里我们可以看到，如果我们在h'(x)里提出一个x，那么h(x)就会再现。

ok,这样的话，我们h（x）就是上面那个微分方程的解了。

那么问题来了，这个微分方程怎么解呢？

首先判断类型，这个微分方程是一个一阶非齐次线性常微分方程。

没错吧。这里的h（x）就是y,P(x)=-x,Q(x)=1

而这类微分方程的求解我们是有公式的。

就这玩意。

但是公式里有待定的数C(大多数微分方程的解都有很多很多个，所以才会有待定的数C）

但对我们而言，C是能够被确定的。

因为h(0)你看一下，是不是0啊？

所以，把上面的条件代入就可以了。

结果是

你问我为什么不把积分号里面的玩意积出来？

拜托，那个结果无法用初等函数表示的。

继续咱们的思路，现在当x=1的时候h(1)就是答案了。这里你会发现

看过

的朋友或许会对这个结果表示熟悉。

因为这里又出现钟形曲线。不过对这期专栏来说，这个结果并不够有趣。

2.一个“有趣”连分式

第二部分咱们来考量一个和前面的微分方程有点像的玩意。

为了方便，我们可以令y=f（x）

小标题提到了“连分式”，那我们就来试试用它构造一个连分式。

和前面差不多，我们对y“逐项求导”。

y'=xy-1

y''=xy'+1y

y'''=xy''+2y

y''''=xy'''+3y

......

这里你或许看不出什么，那如果我两边同时除以x边上的那个导数呢?

y'/y=x-1/y

y''/y=x+1y/y'

y'''/y''=x+2y'/y''

y''''/y'''=x+3y''/y'''

......

发现了吗？他们头尾相等了。

这不就可以迭代了。

第一个式子里的y格格不入，而且它可以承担前面类似和函数的作用。

所以我们变形一下全部的式子。把最右边那一列移到等号左边，第一列移到右边，然后分子分母颠倒以把y单独拎出来。

这样的话就是

......

于是我们就可以迭代了。

两个负号抵消就是

（你可以试着倒过来，由这个连分式得到前面的微分方程。如果你有什么自然的方法也欢迎发到评论区）

3.所以。。。"有趣"在哪里？

啊对啊，所以有趣在哪里呢？

前面那个微分方程我们依然能解的对吧。

解出来的结果有点恐怖哦。

如果我们把h（x）和f（x）加起来，那么积分部分刚好就拼在一起了。

而这个积分在[0，+∞）的结果是可以利用转成二重积分算出来的。

结果是

那么就有

当x=1时,就有

而e的1/2次方就是根号e

h(1)和f(1)我们前面有结论,代入得

这个式子是由拉马努金（又是那个恐怖如斯的男人）提出的。

这个式子既有级数又有连分数，还有πe根号，属实是把各个要素凑齐了。