什么是复变函数?
是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
起源：
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
内容：
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数如何判断解析?
1、讨论复变函数的可导性或解析性，首先须在一定定义区域内讨论，一个复变函数在一些区域内可导可解。
2、复变函数在一些区域内可导可解，在一些区域内可导不可解，在一些区域内不可导不可解。
3、在一定的区域内满足柯西-黎曼方程的复变函数一定可导可解，但不是所有的可导可解函数都满足柯西-黎曼方程。
4、变函数判断解析在确定的过程中需要对U,V求偏倒，就已经说明可微且满足柯西黎曼方程的同时，偏导数也要连续。
